Question

已知数列{a_n}满足a_n＝n·2^n－1(n∈N^*)，是否存在等差数列{b_n}，使a_n＝b₁C＋b₂C＋b₃C＋…＋b_nC对一切正整数n成立？并证明你的结论．

Answer 1

　假设等差数列{b_n}使等式n·2^n－1＝b₁C＋b₂C＋b₃C＋…＋b_nC对一切正整数n成立，

当n＝1时，得1＝b₁C，∴b₁＝1，当n＝2时，得4＝b₁C＋b₂C，∴b₂＝2，当n＝3时，得12＝b₁C＋b₂C＋b₃C，∴b₃＝3，可猜想b_n＝n时，n·2^n－1＝C＋2C＋3C＋…＋nC.

∵kC＝k·

＝n·＝nC.

∴C＋2C＋3C＋…＋nC＝n(C＋C＋…＋C)＝n·2^n－1.故存在等差数列{b_n}(b_n＝n)，使已知等式对一切n∈N^*成立．