Question

14．已知函数f（x）=log₄（4^x+1）-（k-1）x（x∈R）为偶函数．
（1）求常数k的值；
（2）当x取何值时函数f（x）的值最小？并求出f（x）的最小值；
（3）设g（x）=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a）（a≠0），试根据实数a的取值，讨论函数f（x）与g（x）的图象的公共点个数．

Answer 1

分析 （1）根据偶函数的定义，得到关于k的方程，解方程可得答案；
（2）利用基本不等式求出真数的最值，进而可得f（x）的最小值点和最小值；
（3）构造方程${log_4}（{4^x}+1）-\frac{x}{2}={log_4}（a•{2^x}-\frac{4}{3}a）$，结合对数函数的图象和性质，分类讨论不同情况下方程根的个数，可得结论．

解答 解：（1）∵f（x）为偶函数，
故${log_4}（{4^{-x}}+1）+（k-1）x={log_4}（{4^x}+1）-（k-1）x$对所有x∈R都成立，-------------（2分）
即（2k-3）x=0对所有x∈R都成立，
∴$k=\frac{3}{2}$．--------------（5分）
（2）由（1）得$f（x）={log_4}（{4^x}+1）-\frac{x}{2}$，即 $f（x）={log_4}\frac{{{4^x}+1}}{2^x}$．--------------（7分）
又∵${log_4}（{2^x}+\frac{1}{2^x}）≥{log_4}2=\frac{1}{2}$，
故当且仅当x=0时，-----（10分）
∴f（x）的最小值是$\frac{1}{2}$．--------------（11分）
（3）由方程${log_4}（{4^x}+1）-\frac{x}{2}={log_4}（a•{2^x}-\frac{4}{3}a）$（*）
可变形为$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{4^x}+1}}{2^x}=a•{2^x}-\frac{4}{3}a…①\\ a•{2^x}-\frac{4}{3}a＞0…②\end{array}\right.$，
由②得$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\{2^x}＞\frac{4}{3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\{2^x}＜\frac{4}{3}\end{array}\right.$，
由①得$a=1+\frac{{4×{2^x}+3}}{{3×{{（{2^x}）}^2}-4×{2^x}}}$，
令4×2^x+3=t，则$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ t＞\frac{25}{3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ 3＜t＜\frac{25}{3}\end{array}\right.$
则$a=1+\frac{16t}{{3{t^2}-34t+75}}=1+\frac{16}{{3t+\frac{75}{t}-34}}$．-----（13分）
当$t＞\frac{25}{3}$时，$3t+\frac{75}{t}-34$单调递增，
∴$3t+\frac{75}{t}-34＞0$，
∴a＞1，此时方程（*）有且只有一个解；-------（15分）
当$3＜t＜\frac{25}{3}$时，$-4≤3t+\frac{75}{t}-34＜0$，$a=1+\frac{16}{{3t+\frac{75}{t}-34}}≤-3$
当a=-3时，方程（*）有且只有一个解；--------（16分）
当a＜-3时，方程（*）有两解；
当-3＜a＜0，或0＜a≤1时方程（*）无解．---------------（17分）
综上所述，当a＜-3时，函数f（x）与g（x）的图象有两个不同的公共点；
当a=-3或a＞1时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点；
当-3＜a＜0或0＜a≤1时，函数f（x）与g（x）的图象没有公共点．------------（18分）

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，本题运算量大，转化困难，属于中档偏难度的题目．