Question

8．如图，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=a，AB=$\sqrt{2}$A，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且$\frac{PE}{ED}$=$\frac{BF}{FA}$=$\frac{1}{2}$，求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 过E点作EM⊥AD，则由题意知∠EFM是直线EF与平面ABCD所成角，由此能求出直线EF与平面ABCD所成角的正弦值．

解答 解：∵ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，过E点作EM⊥AD，则由题意知EM⊥平面ABCD，
连结EF、FM，则∠EFM是直线EF与平面ABCD所成角，
∵$\frac{PE}{ED}=\frac{BF}{FA}=\frac{1}{2}$，∴EM=$\frac{2}{3}PA=\frac{2}{3}a$，MA=$\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}a$，FA=$\frac{2}{3}AB=\frac{2\sqrt{2}}{3}a$，
在直角△AMF中，MF=$\sqrt{A{M}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{9}+\frac{8{a}^{2}}{9}}$=a，
在直角△EMF中，EF=$\sqrt{E{M}^{2}+F{M}^{2}}$=$\sqrt{\frac{4{a}^{2}}{9}+{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}a}{3}$，
∴$sin∠EFM=\frac{EM}{EF}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．
∴直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．