Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，且前n项之和S_n满足6S_n=a_n²+3a_n+2，且a₂，a₄，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列b_n=的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

解（1）当n=1时，由题意可得6a₁=
∴a₁=1或a₁=2
当n≥2时，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n﹣1=a_n﹣1 ²+3a_n﹣1+2，
两式相减可得（a_n+a_n﹣1）（a_n﹣a_n﹣1﹣3）=0
由题意可得，a_n+a_n﹣1＞0
∴a_n﹣a_n﹣1=3
当a₁=1时，a_n=3n﹣2，此时=a₂a₉成立
当a₁=2时，a_n=3n﹣1，此时=a₂a₉不成立
故a_n=3n﹣2，
（2）∵b_n=2^3n﹣2，是以公比q=8的等比数列，
∴数列的前n项和为=