Question

（2013•东城区模拟）对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]（a＜b），使得 {y|y=f（x）．x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列三个函数：①f（x）=x³；②f（x）=cos

π

2

x；③f（x）=e^x．其中存在稳定区间的函数有

①②

．（写出所有正确的序号）

Answer 1

分析：根据函数“稳定区间”的定义，即存在区间M使函数的定义域与值域均为M．由此对3个函数逐一加以研究，可得对于函数f（x）=x³存在M=[-1，1]符合题意；函数f（x）=cos

π

2

x存在M=[0，1]符合题意；而函数f（x）=e^x不存在“稳定区间”．

解答：解：对于①，当区间M=[-1，1]时，
最小值为f（-1）=-1且最小值为f（1）=1，
因此函数的值域为[-1，1]=M，符合题意；
对于②，f（x）=cos

π

2

x
∵函数在（0，1）上是减函数，且f（0）=cos0=1，f（1）=cos

π

2

=0
∴当区间M=[0，1]时，可得函数的值域为=M，可得②符合题意；
对于③，因为f（x）=e^x是R上的增函数，
且e^x＞x恒成立，故不存在区间M=[a，b]使得当x∈M时值域恰好是M
因此可得③不符合题意．
故答案为：①②

点评：本题给出函数“稳定区间”的概念，要我们在几个函数中找出存在“稳定区间”函数的个数．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的定义域与值域等知识，属于中档题．