Question

设单调递增函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y有f（xy）=f（x）+f（y），且．
（1）一个各项均为正数的数列{a_n}满足：f（s_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1其中S_n为数列{a_n}的前n项和，求数列{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，是否存在正数M使下列不等式：2ⁿ•a₁a₂…a_n≥M对一切n∈N^*成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1由题设知．．由此能求出数列{a_n}的通项公式；
（2）、假设对一切n∈N^*恒成立．令，．故，由此能导出n∈N^*，g（n）≥g（1）=，．
解答：解：（1）∵对任意的正数x、y均有f（xy）=f（x）+f（y）且．（2分）
又∵a_n＞0且f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1=f（a_n）+f（a_n+1）+．
∴．（4分）
又∵f（x）是定义在（0，+∞]上的单增函数，
∴S_n=．
当n=1时，a₁=，
∴a₁²-a₁=0∵a₁＞0，
∴a₁=1．
当n≥2时，∵2a_n=2S_n-2S_n-1=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0．
∵a_n＞0∴a_n-a_n-1=1（n≥2），
∴{a_n}为等差数列，a₁=1，d=1
∴a_n=n．（6分）

（2）、假设M存在满足条件，即M≤对一切n∈N^*恒成立．（8分）
令g（n）=，
∴g（n+1）=．（10分）
故＞1，
∴g（n+1）＞g（n），
∴g（n）单调递增，（12分）
∴n∈N^*，g（n）≥g（1）=，0＜M≤．（14分）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．