Question

已知f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[-1，3]内，函数f（x）=kx+k+1（k∈R且k≠1）有4个零点，则k的取值范围是

 

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Answer 1

分析：先根据函数f（x）的周期性以及x∈[0，1]时，f（x）的解析式，求在区间[-1，3]内，f（x）的图象，函数f（x）=kx+k+1（k∈R且k≠1）有4个零点，也即，函数f（x）与y=kx+k+1图象有4个交点，再求k为何值时，函数f（x）与y=kx+k+1图象有4个交点即可．

解答：解：∵f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，
∴f（x）的图象为折线，且当x∈[-1，0]时，图象与x∈[0，1]时图象关于y轴对称，
若函数f（x）=kx+k+1（k∈R且k≠1）有4个零点，即函数f（x）与y=kx+k+1图象有4个交点，
y=kx+k+1为过定点（-1，1）的直线，要想与f（x）有4个交点，只要介于（-1，1）和（2，0）连线，与（-1，1）和（3，1）连线之间即可，
求（-1，1）和（2，0）连线斜率为-

1

3

，求（-1，1）和（3，1）连线斜率为0，
∴k的取值范围是 （-

1

3

，0）
故答案为（-

1

3

，0）

点评：本体考查了函数零点的判断，做题时注意转换．