Question

已知圆C：(x+

3

)2+y2=16，点A(

3

，0)，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，D，F分别为曲线E与x轴的左，右两交点，若直线DP与曲线E相交于异于D的点N，证明△NPF为钝角三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据椭圆的定义，确定轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，再写出椭圆的方程；
（Ⅱ）直线DP的方程与椭圆方程联立，确定N的坐标，求出

FN

，

FP

，利用其数量积小于0，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意得|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4＞2

3

∴轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆…（2分）
∴轨迹E的方程为

x2

4

+y2=1…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知D（-2，0），F（2，0），设P（4，t）（t≠0），N（x_N，y_N）
则直线DP的方程为y=

t

6

(x+2)…（6分）
由

y= t 6 (x+2) x2+4y2=4

得（9+t²）x²+4t²x+4t²-36=0
∵直线DP与椭圆相交于异于D的点N
∴-2+xN=

-4t2

9+t2

，∴xN=

-2t2+18

9+t2

由yN=

t

6

(xN+2)得yN=

6t

9+t2

…（8分）
∴

FN

=(-

4t2

9+t2

，

6t

9+t2

)，

FP

=(2，t)
∴

FN

•

FP

=-

8t2

9+t2

+

6t2

9+t2

=

-2t2

9+t2

＜0…（10分）
又N，F，P三点不共线，∴∠NFP为钝角，
∴△NFP为钝角三角形…（12分）

点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．