Question

如图，在直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
（I）设E是DC的中点，求证：D₁E∥平面A₁BD；
（II）求二面角A₁﹣BD﹣C₁的余弦值．

Answer 1

解：（I）连接BE，则四边形DABE为正方形，
∴BE=AD=A₁D₁，且BE∥AD∥A₁D₁，
∴四边形A₁D₁EB为平行四边形，
∴D₁E∥A₁B．
∵D₁E平面A₁BD，A₁B平面A₁BD，
∴D₁E∥平面A₁BD．
（II）以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
不妨设DA=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C₁（0，2，2），
A₁（1，0，2）．
∴．
设为平面A1BD的一个法向量，
由得，
取z=1，则．设为平面C₁BD的一个法向量，
由得，
取z₁=1，则.．
由于该二面角A₁﹣BD﹣C₁为锐角，
所以所求的二面角A₁﹣BD﹣C₁的余弦值为．