Question

设函数f(x)＝x³＋x²＋(m²－1)x，(x∈R，)其中m＞0

(1)当m＝1时，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程

(2)求函数的单调区间与极值；

(3)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x₁，x₂，且x₁＜x₂．若对任意的x∈[x₁，x₂]，f(x)＞f(1)恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：设函数(Ⅰ)当曲线处的切线方程(Ⅱ)求函数的单调区间与极值；(Ⅲ)已知函数有三个互不相同的零点0，，且．若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 　　解析：当所以曲线处的切线斜率为1．又，所以曲线处的切线方程为．　2 　　(2)解析，令，得到 　　因为当x变化时，的变化情况如下表：　4 　　f(x)在(－∞，1－m)和(1＋m，＋∞)内减函数，在(1－m，1＋m)内增函数． 　　函数在处取得极大值，且＝　5 　　函数在处取得极小值，且＝　6 　　(3)解析：由题设， 　　所以方程＝0由两个相异的实根，故，且，解得　8 　　因为 　　若，而，不合题意　9 　　若则对任意的有　10 　　则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是，解得 　　综上，m的取值范围是　12