Question

已知函数f(x)=

a

3

x3+

1

2

x2-(a-1)x+1．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线6x+y+1=0平行，求出这条切线的方程；
（2）当a＞0时，求：
①讨论函数f（x）的单调区间；
②对任意的x＜-1，恒有f（x）＜1，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f'（x）=ax²+x-a+1，得切线斜率为k=f'（2）=3a+3---------（2分）
据题设，k=-6，所以a=-3，故有f（2）=3----------------------------（3分）
所以切线方程为y-f（2）=-6（x-2），即6x+y-15=0------------------------（4分）
（2）①f′(x)=ax2+x-a+1=(x+1)(ax-a+1)=a(x+1)(x-

a-1

a

)
若0＜a＜

1

2

，则

a-1

a

＜-1，可知函数f（x）的增区间为(-∞，

a-1

a

)和（-1，+∞），减区间为(

a-1

a

，-1)-----------------（6分）
若a=

1

2

，则f′(x)=

1

2

(x+1)2≥0，可知函数f（x）的增区间为（-∞，+∞）；------------（7分）
若a＞

1

2

，则

a-1

a

＞-1，可知函数f（x）的增区间为（-∞，-1）和(

a-1

a

，+∞)，减区间为(-1，

a-1

a

)-------------------------------------（9分）
②当0＜a＜

1

2

时，据①知函数f（x）在区间(-∞，

a-1

a

)上递增，在区间(

a-1

a

，-1)上递减，
所以，当x＜-1时，f(x)max=f(

a-1

a

)，故只需f(

a-1

a

)＜1，即

(a-1)3

3a2

+

(a-1)2

2a2

-

(a-1)2

a

＜0
显然a≠1，变形为

a-1

3a2

+

1

2a2

-

1

a

＜0，即

1-4a

a2

＜0，解得

1

4

＜a＜

1

2

---------（11分）
当a≥

1

2

时，据①知函数f（x）在区间（-∞，-1）上递增，则有f(x)＜f(-1)=

2a

3

+

1

2

只需

2a

3

+

1

2

≤1，解得

1

2

≤a≤

3

4

．----------（13分）
综上，正实数a的取值范围是

1

4

＜a≤

3

4

--------------------------------------------（14分）