Question

（本小题满分12分）

已知圆：交轴于两点，曲线是以为长轴，直线：为准线的椭圆．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若是直线上的任意一点，以为直径的

圆与圆相交于两点，求证：直线

必过定点，并求出点的坐标；

（Ⅲ）如图所示，若直线与椭圆交于两点，

且，试求此时弦的长。

Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，则：

，从而：，故,所以椭圆的标准方程为。……3分

（Ⅱ）设，则圆方程为 与圆联立消去得的方程为，过定点。    ……………7分 

（Ⅲ）解法一：设，则,………①

，，即：        

代入①解得：（舍去正值），       ，所以，

从而圆心到直线的距离，从而。12分

解法二：过点分别作直线的垂线，垂足分别为，设的倾斜角为，则：，从而，  

由得：，，故，

由此直线的方程为，以下同解法一。              

解法三：将与椭圆方程联立成方程组消去得：,设，则。

，，所以代入韦达定理得：

，                                            

消去得：，，由图得：，

所以，以下同解法一。