Question

如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，判断四边形OPDC的面积有无最大值.若有,求出最大值;若没有,说明理由.

Answer 1

思路分析：要判断四边形OPDC的面积有无最大值，这首先需要建立一个面积函数看这一个函数有无最大值，本题中建立目标函数的关键是选谁作为自变量，如果注意到动点P在半圆上运动与∠POB大小变化之间的联系，自然引入∠POB＝θ作为自变量建立函数关系.四边形OPDC可以分成△OPC与等边△PDC，S_△OPC可用·OP·OC·sinθ表示，而等边△PDC的面积关键在于边长的求解，而边长PC可以在△POC中利用余弦定理表示，至于面积最值的获得，则通过三角函数知识解决.

解：设∠POB＝θ，四边形面积为y，则在△POC中，由余弦定理,得

PC²＝OP^2?＋OC²－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ,

∴y＝S△_OPC＋S_△PCD＝×1×2sinθ＋(5－4cosθ)

＝2sin(θ－)＋.

∴当θ－＝,即θ＝时，y_max＝2＋.

方法归纳 本题中余弦定理为表示△PCD的面积，从而为表示四边形OPDC面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性.另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ的构造及逆用，应予以重视.