Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-3，1），直线OB的倾斜角为45°，且|OB|=

2

．
（Ⅰ）求点B的坐标及线段AB的长度；
（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，取1厘米为单位长度．现有一质点P以1厘米/秒的速度从点B出发，沿倾斜角为60°的射线BC运动，另一质点Q同时以

2

厘米/秒的速度从点A出发作直线运动，如果要使得质点Q与P会合，那么需要经过多少时间？

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,解三角形

分析：（Ⅰ）利用直线OB的倾斜角为45°，且|OB|=

2

，求点B的坐标，根据AB∥x轴求出线段AB的长度；
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理知|AC|²=|AB|²+|BC|²-2|AB||BC|cos120°，建立方程，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）设点B（x₀，y₀），依题意x0=

2

cos45°=1，y0=

2

sin45°=1．
从而B（1，1），
又A（-3，1），所以AB∥x轴，则|AB|=|1-（-3）|=4．…（3分）
（Ⅱ）设质点Q与P经过t秒会合于点C，
则|AC|=

2

t，|BC|=t．
由AB∥x轴及BC的倾斜角为60°，得∠ABC=120°．
在△ABC中，由余弦定理知|AC|²=|AB|²+|BC|²-2|AB||BC|cos120°，
所以2t2=16+t2+8t•

1

2

，化简得，t²-4t-16=0，
解得t=2-2

5

（舍去）或t=2+2

5

．
答：若要使得质点Q与P会合，则需要经过（2+2

5

）秒．…（9分）

点评：本题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，正确运用余弦定理是关键．