Question

已知函数f（x）=|2x+1|-|x-3|
（Ⅰ）求不等式f（x）≥4的解集；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）不等式即|2x+1|-|x-3|≥4，可得 ①

x＜- 1 2 (-2x-1)-(3-x)≥4

，或②

- 1 2 ≤x＜3 (2x+1)-(3-x)≥4

，或③

x≥3 (2x+1)-(x-3)≥4

．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）画出函数y=f（x）=

-x-4  ， x＜- 1 2 3x-2  ，- 1 2 ≤x＜3 x+4  ，x≥3

的图象，数形结合可得函数f（x）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）≥4，即|2x+1|-|x-3|≥4，
可得①

x＜- 1 2 (-2x-1)-(3-x)≥4

，或②

- 1 2 ≤x＜3 (2x+1)-(3-x)≥4

，或③

x≥3 (2x+1)-(x-3)≥4

．
解①可得x≤-8，解②可得 2≤x＜3，解③可得x≥3．
再把①②③的解集取并集可得不等式f（x）≥4的解集为{x|x≤-8，或x≥2}．
（Ⅱ）∵函数y=f（x）=

-x-4  ， x＜- 1 2 3x-2  ，- 1 2 ≤x＜3 x+4  ，x≥3

，如图所示：
故当x=-

1

2

时，函数f（x）取得最小值为-

7

2

．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和数形结合的数学思想，属于中档题．