题目内容

已知函数 $数学公式$ ，设数列{a_n}同时满足下列两个条件：① $数学公式$ ；②a_n+1=f'（a_n+1）．
（Ⅰ）试用a_n表示a_n+1；
（Ⅱ）记 $数学公式$ ，若数列{b_n}是递减数列，求a₁的取值范围．

解：（Ⅰ）求导函数 $\text{[math]}$ ，
∵a_n+1=f'（a_n+1），∴ $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
令a₄＜a₂，得 $\text{[math]}$ ，∴（2a₂+1）（a₂-2）＞0，
∵a₂＞0，∴a₂＞2，则 $\text{[math]}$ ，得0＜a₁＜2．
以下证明：当0＜a₁＜2时，a_2n+2＜a_2n，且a_2n＞2．
①当n=1时，0＜a₁＜2，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，∴a₄＜a₂．
②假设n=k（k∈N^*）时命题成立，即a_2k+2＜a_2k，且a_2k＞2，
当n=k+1时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴a_2k+4＜a_2k+2，即n=k+1时命题成立，
综合①②，对于任意n∈N^*，a_2n+2＜a_2n，且a_2n＞2，从而数列{b_n}是递减数列．
∴a₁的取值范围为（0，2）．
说明：数学归纳法第②步也可用下面方法证明： $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）求导函数，利用a_n+1=f'（a_n+1），可用a_n表示a_n+1；
（Ⅱ）先通过特殊性，猜想0＜a₁＜2，再用数学归纳法进行证明．
点评：本题考查数列递推式，考查求参数的范围，解题的关键是先猜后证，属于中档题．

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