Question

已知函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

的定义域为R，且f（x）是奇函数，其中a与b是常数．
（1）求a与b的值；
（2）若x∈[-1，1]，对于任意的t∈R，不等式f（x）＜2t²-λt+1恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）为奇函数得f（0）=0，f（-1）=-f（1），解出a，b，再检验f（x）为奇函数即可；
（2）由（1）可求出f（x）表达式，该问题可转化为x∈[-1，1]时，f（x）_max＜2t²-λt+1对任意t恒成立，结合二次函数图象可得λ的限制条件．

解答：解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴

f(0)=0 f(-1)=-f(1)

，
即

-1+b 2+a =0 - 1 2 +b 1+a =- -2+b 4+a

，解得

a=2 b=1

，此时f（x）=

-2x+1

2x+1+2

，经检验可得f（-x）=-f（x），
故a=2，b=1．
（2）f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=

-2x+1

2(2x+1)

=

-(2x+1)+2

2(2x+1)

=-

1

2

+

1

2x+1

，可知f（x）在R上是减函数，又x∈[-1，1]，∴f（x）的最大值为f（-1）=

1

6

．
∵对于任意的t∈R，不等式f（x）＜2t²-λt+1恒成立，
∴2t²-λt+1＞

1

6

，即2t²-λt+

5

6

＞0，则有△＜0，即λ2-4×2×

5

6

＜0，解得-

2 15

3

＜λ＜

2 15

3

．
所以实数λ的取值范围是{λ|-

2 15

3

＜λ＜

2 15

3

}．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性，定义是解决该类问题的基础，不等式恒成立问题常转化为函数最值问题解决．