Question

（2012•泸州模拟）已知函数f(x)=sin(ωx+

π

6

)+cos(ωx-

π

6

)(ω＞0，x∈R)，且该函数图象相邻两对称轴间的距离为

π

2

．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若不等式f(m)-

2 + 6

4

≥0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）化简函数f（x）的解析式为

6 + 2

2

sin（ωx+

π

4

），由该函数图象相邻两对称轴间的距离为

π

2

，可得函数f（x）的最小正周期为π，由此求得ω=2．
（II）由不等式可得sin（2x+

π

4

）≥

1

2

，故有 2kπ-

π

6

≤2m+

π

4

）≤2kπ+

5π

6

，k∈z．由此解得实数m的取值范围．

解答：解：（I）∵函数 f(x)=sin(ωx+

π

6

)+cos(ωx-

π

6

)=

3

2

sinωx+

1

2

cosωx+

3

2

cosωx+

1

2

sinωx
=

3 +1

2

（sinωx+cosωx）=

6 + 2

2

 sin（ωx+

π

4

）．
∵该函数图象相邻两对称轴间的距离为

π

2

，∴函数f（x）的最小正周期为π，
即

2π

ω

=π，ω=2，f（x）=

6 + 2

2

sin（2x+

π

4

）．
（II）∵不等式f(m)-

2 + 6

4

≥0成立，∴

6 + 2

2

sin（2m+

π

4

）≥

2 + 6

4

，
∵sin（2x+

π

4

）≥

1

2

．
∴2kπ-

π

6

≤2m+

π

4

）≤2kπ+

5π

6

，k∈z．解得 kπ-

π

24

≤m≤kπ+

7π

24

，k∈z．
故实数m的取值范围为[kπ-

π

24

，kπ+

7π

24

]k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合函数的单调性，解三角不等式，属于中档题．