Question

    定义在R上的函数f(x)满足：如果对任意x₁，x₂∈R，都有≤［f(x₁)+f(x₂)］，则称函数f(x)是R上的凹函数.已知函数f(x)＝ax²+x(a∈R且a≠0)，

    (1)求证：当a＞0时，函数f(x)是凹函数；

    (2)如果x∈［0，1］时，│f(x)│≤1，求实数a的范围.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：(1)证明：对任意x1、x2∈R，∵a＞0，     ∴f(x1)+f(x2)－     =ax12+x1+ax22+x2－2［+］     =a(x1－x2)2≥0.     ∴≤［f(x1)+f(x2)］，     ∴f(x)是凹函数.     (2)解：由│f(x)│≤1－1≤f(x)≤1－1≤ax2＋x≤1.( * )     当x＝0时，a∈R;     当x∈(0，1)时，由( * )得     恒成立.     当x∈(0，1]时，≥1.当时，取最大值－2;     同时(－)2－取最小值0，∴－2≤a≤0.     ∵a≠0，∴－2≤a＜0.