Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，O是A₁C₁的中点，则点O到平面ABC₁D₁的距离是（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  2

  4

• C．

  1

  2

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：取C₁B₁的中点F，连结OF，BC₁，AD₁，B₁C交BC₁于E，B₁E⊥BC₁，作FG⊥BC₁，OF∥AB，所以O到平面ABC₁D₁的距离，就是F到平面ABC₁D₁的距离，也就是B₁到平面ABC₁D₁的距离的一半，由此能求出结果．

解答：解：取C₁B₁的中点F，连结OF，BC₁，AD₁，连结B₁C，交BC₁于E，B₁E⊥BC₁，
作FG⊥BC₁，OF∥AB，所以O到平面ABC₁D₁的距离，就是F到平面ABC₁D₁的距离，也就是B₁到平面ABC₁D₁的距离的一半，
∵几何体是正方体，B₁E⊥AC₁，B₁E⊥AB，∴B₁E⊥平面ABC₁D₁，
∴EB₁就是B₁到平面ABC₁D₁的距离．B₁C=

2

，∴FG=

1

4

B₁C=

1

2

B₁E=

2

4

．
点O到平面ABC₁D₁的距离是

2

4

．
故选：B．

点评：本题考查点、线、面间的距离，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．