Question

正实数x₁，x₂及f（x）满足f(x)=

4x-1

4x+1

，且f（x₁）+f（x₂）=1，则f（x₁+x₂）的最小值等于

4

5

．

Answer 1

分析：根据f（x）的解析式，将f（x₁）+f（x₂）=1表示出来，然后求出4x1=

4x2+3

4x2-1

，再表示出f（x₁+x₂），将其中的4x1代入其中，将所得表达式进行化简，整理成乘积为定值的形式，运用基本不等式求解，即可得到f（x₁+x₂）的最小值．

解答：解：∵f(x)=

4x-1

4x+1

，且f（x₁）+f（x₂）=1，
∴

4x1-1

4x1+1

+

4x2-1

4x2+1

=1，
∴4x1=

4x2+3

4x2-1

，
∴f(x1+x2)=

4x1+x2-1

4x1+x2+1

=1-

2

4x14x2+1

=1-

2

(4x2-1)+ 4 4x2-1

+6≥1-

2

2 (4x2-1) 4 4x2-1 +6

=1-

1

5

=

4

5

，
当且仅当4x2-1=

4

4x2-1

，即4x2=3，x₂=log₄3时取得最小值，
∴f（x₁+x₂）的最小值等于

4

5

．
故答案为：

4

5

．

点评：本题考查了基本不等式在最值问题中的应用，应用基本不等式时，要注意“一正、二定、三相等”的判断．本题解题的关键是将两个变量转化为一个变量来表示，然后构造成乘积为定值的形式，运用基本不等式进行求解．同时考查了化简运算的能力．属于中档题．