Question

设F₁、F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(

OP

+

OF2

)•

PF2

=0（O 为坐标原点），且2|

PF1

|=3|

PF2

|，则双曲线的离心率为（　　）

• A．

  13

• B．2

  13

• C．

  13

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：由向量减法法则和数量积的运算性质，可得

|OP|

 =

|OF2|

 =c，从而得到△PF₁F₂是以为F₁F₂斜边的直角三角形．由此结合2|

PF1

|=3|

PF2

|，运用勾股定理算出|

PF1

|=

6 13

13

c，|

PF2

|=

4 13

13

c，再根据双曲线的定义得到2a的值，即可得到该双曲线的离心率．

解答：解：∵

PF2

=

OF2

-

OP

∴(

OP

+

OF2

)•

PF2

=(

OP

+

OF2

)(

OF2

-

OP

)=0，
得

OF2

2-

OP

2=0，所以

|OP|

 =

|OF2|

 =c
∴△PF₁F₂中，边F₁F₂上的中线等于|F₁F₂|的一半，可得

PF1

⊥

PF2

∵2|

PF1

|=3|

PF2

|，
∴设|

PF1

|=3λ，|

PF2

|=2λ，（λ＞0）
得（3λ）²+（2λ）²=4c²，解得λ=

2 13

13

c
∴|

PF1

|=

6 13

13

c，|

PF2

|=

4 13

13

c
由双曲线的定义，得2a=||

PF1

|-|

PF2

||=

2 13

13

c
∴双曲线的离心率为e=

2c

2a

=

13

故选A

点评：本题给出双曲线上一点P满足∠F₁PF₂为直角，且两直角边之比为

2

3

，求双曲线的离心率，着重考查了向量的运算和双曲线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．