Question

已知如下图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点E与点F分别在PA与PB上，且，，M是PB的中点．

　　（1）求证：BC⊥PC；

　　（2）求异面直线EF与MC所成的角；

　　（3）求直线MC与底面ABC所成的角．

Answer 1

答案：
解析：

（1）证明：∵  ，， ∴  是平面的斜线，是其射影． 　　  又∵  ，由三垂线定理，∴  ． （2）解：连结，由题意，知， 　　  ∴（或的补角）为异面直线与所成的角． 　　在△中，，，∴  ． 由，∴  △为等腰直角三角形，∴  ． ∵  为△斜边中点，∴  ． 　　在Rt△中，．∴  ，∴  ， 　　即所求异面直线与所成的角为． （3）解：如下图，∵  且， 　　∴  ，交线为． 　　在平面中，过作于，  则且． 　　由为中点，知为的中点，∴  ． 　　在△中，， 　　∴  ，即直线与底面所成的角为．