Question

已知二次函数)，满足且f(x)的最小值是－.设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点(n，S_n)在函数f(x)的图象上．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)通过造一个新的数列{b_n}，是否存在非零常数c，使得{b_n}为等差数列；

(3)令，设数列{c_n·2c_n}的前n项和为T_n，求T_n.

Answer 1

解：(1)因为f(0)＝f()＝0，

所以f(x)的对称轴为

又因为f(x)的最小值是－，

由二次函数图象的对称性可设：

又f(0)＝0，所以a＝2，

所以

因为点(n，S_n)在函数f(x)的图象上，

所以S_n＝2n²－n.

当n＝1时，a₁＝S₁＝1；

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝4n－3(n＝1时也成立)，

所以a_n＝4n－3(n∈N^*)．

(2)因为

(3)，即得b_n＝2n，此时数列{b_n}为等差数列，所以存在非零常数c＝－，使得{b_n}为等差数列．