Question

已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得b=1，a=，b=，
故椭圆方程为．                       
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
因为M（0，1），F（1，0），
所以k_PQ=1．                    
于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，
消元可得3x²+4mx+2m²﹣2=0．
由△＞0，得m²＜3，且x₁+x₂=﹣，x₁x₂=．    
由题意应有，
所以x₁（x₂﹣1）+y₂（y₁﹣1）=0，
所以2x₁x₂+（x₁+x₂）（m﹣1）+m²﹣m=0．
整理得2×﹣（m﹣1）+m²﹣m=0．
解得m=﹣或m=1．                              
经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去．
当m=﹣时，所求直线l存在，且直线l的方程为y=x﹣．