Question

如果椭圆上存在一点P，使得点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为    ．

Answer 1

【答案】分析：先利用椭圆的第二定义：到左焦点的距离与到左准线的距离之比为常数e（离心率），用P到左焦点的距离表示P到左准线的距离，再利用椭圆的第一定义：到两焦点的距离之和为定值2a，且P到焦点的距离的取值范围为[a-c，a+c]，列出关于e的不等式即可解得椭圆的离心率的取值范围
解答：解：设椭圆左焦点为F₁，右焦点为F₂，|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，离心率为e
由椭圆第二定义，点P到左准线的距离为，∴=d₂，
又∵d₁+d₂=2a，∴=d₂，即d₂=
∵a-c≤d₂≤a+c
∴a-c≤≤a+c，即1-e≤≤1+e，
又∵0＜e＜1
∴解不等式得-1≤e＜1
故答案为
点评：本题考察了椭圆的两个定义及两个定义间的关系，椭圆的标准方程及其几何意义，解题时重点掌握椭圆的两个定义