Question

【题目】设函数（），，

(Ⅰ) 试求曲线在点处的切线l与曲线的公共点个数；(Ⅱ) 若函数有两个极值点，求实数a的取值范围．

（附：当，x趋近于0时， 趋向于）

Answer 1

【答案】（1）两个公共点；（2）．

【解析】试题分析：（1）计算出及，根据点斜式可得切线方程，将切线方程与联立可得方程，设，对其求导，可得其在内的单调性，结合， ，可得零点个数；（2）题意等价于在至少有两不同根，当时， 是的根，根据图象的交点可知有一个零点，除去同根；当显然不合题意；当时，题意等价于在至少有两不同根，对其求导判断单调性，考虑极值与两端的极限值可得结果.

试题解析：（1）∵， ，

切线的斜率为，

∴切线的方程为，即，

联立，得；

设，则，

由及，得或，

∴在和上单调递增，可知在上单调递减，

又， ，所以， ，

∴方程有两个根：1和，从而切线与曲线有两个公共点．

(2)由题意知在至少有两不同根，

设，

①当时， 是的根，

由与（）恰有一个公共点，可知恰有一根，

由得，不合题意，

∴当且时，检验可知和是的两个极值点；

②当时， 在仅一根，所以不合题意；--9分

③当时，需在至少有两不同根，

由，得，所以在上单调递增，

可知在上单调递减，

因为， 趋近于0时， 趋向于，且时， ，

由题意知，需，即，解得，

∴．

综上知， ．