题目内容

下列四个命题；
①直线x•cosθ-y+1=0（θ∈R）的倾斜角的取值范围为[
π
4
，
3π
4
]；
②直线l1：a1x+b1y+c1=0（a12+b12≠0）与直线l2：a2x+b2y+c2=0（a22+b22≠0），则|
a1a2
b1b2
|=0是直线l1、l2平行的必要不充分条件；
③圆C：x2+y2=r2及点P（x0，y0），若过点P作圆C的两条切线分别交圆C于A、B两点，则过AB的直线方程为xx0+yy0=r2；
④方程
x2
t-1
+
y2
1-t
=1不可能表示圆；
其中正确命题的序号为
②③④
②③④
．
分析：①利用直线的斜率和倾斜角的关系判定．②利用行列式的运算和直线平行的等价条件进行判断．③利用直线和圆相切的等价条件进行判断．④利用方程的特点确定方程对应的轨迹方程．
解答：解：①因为直线的标准方程为y=xcosθ+1，所以直线的斜率k=cosθ，所以-1≤k≤1，由-1≤tanα≤1，解得0≤α≤
π
4
或
3π
4
≤α＜π，所以①错误．
②由|
a1a2
b1b2
|=0得a1b2-a2b1=0，直线l1、l2平行，则必有a1b2-a2b1=0．若a1b2-a2b1=0时，不妨设c1=c2=0，此时两直线重合，所以|
a1a2
b1b2
|=0是直线l1、l2平行的必要不充分条件，所以②正确．
③由题意可得OP2=x02+y02，所以以OP的中点为圆心，以OP为直径的圆的方程为：（x-
x0
2
）2+（y-
y0
2
）2=
1
4
OP2
即：（x-
x0
2
）2+（y-
y0
2
）2=
1
4
（x02+y02）…①x2+y2=r2…②，直线AB的方程就是两个圆的公共弦的方程，
所以①-②得x0x+y0y=r2，所以③正确．
④若方程表示圆，则有
t-1＞0
1-t＞0
t-1=1-t
，即
t＞1
t＜1
t=1
，不等式组无解，所以方程不可能表示圆，所以④正确．
故答案为：②③④．
点评：本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强．
练习册系列答案
相关题目
给出下列四个命题：
①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是“直线a、b不相交”．
②“直线l⊥平面α内的所有直线”的充要条件是“l⊥α”．
③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a垂直于b在平面α内的射影”．
④设α⊥β，a?β，则“a∥β”的充分非必要条件是“a⊥α”．
请填出所有正确命题的序号
②④
②④
．
（2008•温州模拟）给出下列四个命题：
①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是“直线a、b不相交”．②“直线l⊥平面α内的所有直线”的充要条件是“l⊥α”．③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a垂直于b在平面α内的射影”．④设α⊥β，a?β，则“a∥β”的充分非必要条件是“a⊥α”．其中正确命题的序号是（　　）

如图，正方体.则下列四个命题

①在直线上运动时,三棱锥的体积不变;

②在直线上运动时，直线与平面所成的角的大小不变；

③在直线上运动时,二面角的大小不变；

④是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是直线；

其中真命题的编号是_____________

 

给出下列四个命题：

    ⑴“直线∥直线”的必要不充分条件是“平行于所在的平面”；

⑵“直线平面”的充要条件是“垂直于平面内的无数条直线”；

⑶“平面∥平面”是“内有无数条直线平行于平面”的充分不必要条件；

⑷“平面⊥平面”的充分条件是“有一条与平行的直线垂直于”．

上面命题中，所有真命题的序号为    ▲    ．

 

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