Question

某学校为提升数字化信息水平，在校园之间架设了7条网线，这7条网线其中有两条能通过一个信息量，有三条能通过两个信息量，有两条能通过三个信息量．现从中任选三条网线，设可通过的信息量为X，当可通过的信息量不小于6时，则可保证校园内的信息通畅．
（1）求线路信息通畅的概率；
（2）求线路可通过的信息量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）由题意知通过的信息量X≥6，则可保证信息通畅．线路信息通畅包括三种情况，即通过的信息量分别为8，7，6，这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式和等可能事件的概率公式得到结果；
（2）线路可通过的信息量X，X的所有可能取值为4，5，6，7，8，结合变量对应的事件和等可能事件的概率及互斥事件的概率，得到变量的概率，写出分布列和期望．

解答：解：（1）∵通过的信息量X≥6，则可保证信息通畅．
∴线路信息通畅包括三种情况，即通过的信息量分别为8，7，6，
这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式和等可能事件的概率公式得到
P(X=8)=

C 2 2 C 1 3

C 3 7

=

3

35

，
P(X=7)=

C 2 3 C 1 2 + C 2 2 C 1 2

C 3 7

=

8

35

，
P(X=6)=

C 1 2 C 1 3 C 1 2 + C 3 3

C 3 7

=

13

35

，
∴线路信息通畅的概率为P=

3

35

+

8

35

+

13

35

=

24

35

．
（2）线路可通过的信息量X，X的所有可能取值为4，5，6，7，8．
P(X=5)=

C 2 2 C 1 2 + C 2 3 C 1 2

C 3 7

=

8

35

，
P(X=4)=

C 2 2 C 1 3

C 3 7

=

3

35

．
∴X的分布列为

X	4	5	6	7	8
P	3 35	8 35	13 35	8 35	3 35

∴EX=4×

3

35

+5×

8

35

+6×

13

35

+7×

8

35

+8×

3

35

=6．

点评：本题主要考查了相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考查运用概率解决实际问题的能力，属于中档题．