Question

已知m，n表示不同直线，α，β，γ表示不同平面．
①若α∩β=m，n?α，n⊥m，则α⊥β
②若α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则n⊥m
③若α⊥β，α⊥γ=m，β∩γ=m．则m⊥α
④若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
以上四个命题中真命题为

①④

．

Answer 1

分析：①利用平面垂直的判定定理进行判断；②α⊥β，α∩β=m，α∩γ=n，则n与m相交、平行或异面；③若α⊥β，α⊥γ=m，β∩γ=m，则m?α．④利用平面垂直的定义进行判断．

解答：解：由m，n表示不同直线，α，β，γ表示不同平面，知：
①∵α∩β=m，n?α，n⊥m，
∴n⊥β，∴α⊥β，故①是真命题；
②α⊥β，α∩β=m，α∩γ=n，
则n与m相交、平行或异面，故②不正确；
③若α⊥β，α⊥γ=m，β∩γ=m．
则m?α，故③不正确．
④根据异面直线所成角的概念，m⊥n可按相交垂直分析，
又m⊥α，n⊥β，可知α与β所成二面角的平面角为直角，
∴α⊥β，故④正确．
故答案为：①④．

点评：本题是考查空间中的线线、线面的平行和垂直问题，判断题中所给命题真假，应看能否根据已知条件，运用所学定理推出后面的结论．