Question

已知f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）令g（x）=f（x）-kx（k∈R），如果g（x）图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，AB的中点为G（x，0），问g（x）在x=x处是否取得极值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意，可求得f′（x）=-2bx，由f′（2）=-4b，f（2）=aln2-4b，由曲线在点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2可求得a，b；由即可求得f（x）的单调增区间；
（2）依题意，可求得g′（x）=-2x-k，假设结论g（x）在x=x处取极值，由g′（x）=0成立⇒ln=，令t=，u（t）=lnt-（0＜t＜1），利用导数可求u（t）在（0，1）上是增函数，从而导出矛盾，于是可得g（x）在x=x处不是极值点．
解答：解：（1）f′（x）=-2bx…1分
f′（2）=-4b，f（2）=aln2-4b，
∴-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2，
解得a=2，b=1…2分
由解得0＜x＜1，
∴f（x）的单调增区间是（0，1）…4分
（2）g（x）=2lnx-x²-kx（k∈R），
g′（x）=-2x-k…5分
假设结论g（x）在x=x处取极值，则g′（x）=0成立，则有
（1）-（2），得2ln-（-）-k（x₁-x₂）=0，
∴k=-2x．
由（4）得k=-2x，
∴=，
即=，
即ln=（5）…10
令t=，u（t）=lnt-（0＜t＜1），
∵u′（t）=＞0，
∴u（t）在（0，1）上是增函数，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴lnt-＜0，
∴（5）式不成立，与假设矛盾，…11分
故g（x）在x=x处不是极值点…12分
点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性与极值，突出构造函数思想与等价转化思想的考查，考查抽象思维与创新思维能力．属于难题．