Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期，并求f（x）的最小值．
（Ⅱ）令g(x)=f(x+

π

8

)-1，若g（x）＜a-2对于x∈[-

π

6

，

π

3

]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化简f（x）的解析式为

2

sin（2x+

π

4

）+1，故f（x）的最小正周期 T=

2π

2

，根据正弦函数的值域求出f（x）的最小值．
（Ⅱ）由题意求得g（x）=

2

cos2x，根据x的范围求得 2x的范围，由此求得g（x）=

2

cos2x 的最大值

2

，
根据题意可得

2

＜a-2，从而求得实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
∴f（x）的最小正周期 T=

2π

2

=π．由于-1≤sin（2x+

π

4

）≤1，∴1-

2

≤f（x）≤

2

+1，
故f（x）的最小值是 1-

2

．
（Ⅱ）由题意可得 g(x)=f(x+

π

8

)-1=

2

sin[2（x+

π

8

）+

π

4

]+1-1=

2

cos2x，
∵-

π

6

≤x≤

π

3

，∴-

π

3

≤2x≤

2π

3

，故当x=0时，

2

cos2x 有最大值为

2

，
故

2

＜a-2，∴a＞2+

2

，
故实数a的取值范围是（ 2+

2

，+∞）．

点评：本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性以及三角函数的最值，函数的恒成立问题，求出g（x）的解析式是解题的关键．