Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，经过点(3，-

5

)的直线l与向量（-2，

5

）平行且通过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于A、B两点，又

AF

=2

FB

．
（1）求直线l的方程；
（2）求椭圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）由方向向量和定点写出直线方程．
（2）设A为（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据题中的向量式

AF

=2

FB

，得到坐标y₁，y₂的关系，再由直线和椭圆联立的方程组中，得到y₁+y₂，y₁•y₂的关系，再建立等式，求解．

解答：解：（1）直线l过点(3，-

5

)且与向量（-2，

5

）平行
则l方程为：

x-3

-2

=

y+ 5

5

化简为：y=-

5

2

（x-1）
（2）设直线y=-

5

2

（x-1）与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1
交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

AF

=-2

BF

，求得y₁=-2y₂
将x=-

2

5

y+1代入b²x²+a²y²=a²b²中
整理得(

4

5

b2+a2)y2-

4

5

b2y+b2(1-a2)=0
由韦达定理可知：

y1+y2= 4 5 b2 4 5 b2+a2 =-y2 ① y1•y2= b2(1-a2) 4 5 b2+a2 =-2 y 2 2 ②

由①²/②知32b²=（4b²+5a²）（a²-1）
又a²-b²=1，故可求得

a2=4 b2=3

，
因此所求椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．

点评：“设而不求”是解析几何的常用方法，联立方程组，得两根之和，两根之积的关系．韦达定理也是二次方程的常用性质．