Question

已知函数 （ 不同时为零的常数），导函数为
（Ⅰ）当时，若存在,使得成立，求 的取值范围；
（Ⅱ）求证：函数在内至少有一个零点；
（Ⅲ）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围.

Answer 1

解：（1 ）当时，==，
其对称轴为直线 ，
当  ，解得 ，
当 ，无解，
所以的的取值范围为
（2）因为，
当时，,适合题意
当时，，
令 ，则，
令，因为，
当时，，
所以在内有零点．
当时，，
所以在（内有零点．  
因此，当时，在内至少有一个零点．
综上可知，函数在内至少有一个零点
(3)因为=为奇函数，
所以,
所以，
又在处的切线垂直于直线，
所以，即
因为
所以在上是増函数，在上是减函数，
由解得，
如图所示，
当时，，即，解得；
当时，，解得；
当时，显然不成立；
当时，，即，解得；
当时，，故．
所以所求的取值范围是或