Question

如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.

(1)求证:AM∥平面BDE;

(2)求二面角A-DF-B的大小;

(3)试在线段AC上确定一点P,使得PF与BC所成的角是60°.

Answer 1

(1)证明:记AC与BD的交点为O,连结OE,?

∵O、M分别是AC、EF的中点,ACEF是矩形,?

∴四边形AOEM是平行四边形.?

∴AM∥OE.?

∵OE平面BDE,AM平面BDE,?

∴AM∥平面BDE.?

(2)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S,连结BS,?

∵AB⊥AF,AB⊥AD,AD∩AF=A,?

∴AB⊥平面ADF.?

∴AS是BS在平面ADF上的射影.?

由三垂线定理得BS⊥DF.?

∴∠BSA是二面角A-DF-B的平面角.?

在Rt△ASB中，AS=，AB=，?

∴tan∠ASB=,∠ASB=60°.?

∴二面角A-DF-B的大小为60°.?

 (3)设CP=t(0≤t≤2),作PQ⊥AB于Q,则PQ∥AD,?

∵PQ⊥AB,PQ⊥AF,AB∩AF=A,?

∴PQ⊥平面ABF,QF平面ABF.?

∴PQ⊥QF.?

在Rt△PQF中,∠FPQ=60°,PF=2PQ.?

∵△PAQ为等腰直角三角形,?

∴PQ=(2-t).?

又∵△PAF为直角三角形,?

∴PF=.?

∴ =2·(2-t).?

求出t=1或t=3(舍).?

∴t=1.∴CP=1.