题目内容

定义在R上的函数f（x）满足条件：f（x+4）=f（x），当x∈[2，6]时， $数学公式$ ，且f（4）=31．
（1）求证：f（2）=f（6）；（2）求m，n的值；（3）比较f（log₃m）与f（log₃n）的大小．

解：（1）证明：∵f（x+4）=f（x）∴f（2）=f（6）…（4分）
（2）解：由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ …（10分）
（3）解：∵log₃4∈（1，2）∴log₃4+4∈（5，6）
∴ $\text{[math]}$ ∵log₃30∈（3，4）
∴ $\text{[math]}$ ∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
∴f（log₃4）＜f（log₃30）即f（log₃m）＜f（log₃n）…（16分）
分析：（1）直接利用f（x+4）=f（x）将x=2代入即得：f（2）=f（6）
（2）由 $\text{[math]}$ 代入数据，解得 $\text{[math]}$ 即可；
（3）先计算出log₃4+4的范围，再利用f（x+4）=f（x）进行化简求值，最后结合对数函数的单调性与特殊点即可比较大小．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数解析式的求解及常用方法、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．