Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中A₁A=

3

，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）求证：A₁B∥平面AC₁D．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证AB⊥平面A₁ACC₁，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面A₁ACC₁内两相交直线垂直，利用勾股定理可得AB⊥AC，A₁A⊥AB，A₁A∩AC=A，满足定理条件；
（Ⅱ）连接A₁C交AC₁于E，连DE，则E为A₁C中点，欲证A₁B∥平面AC₁D，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A₁B∥平面AC₁D内一直线平行，而DE∥A₁B，A₁B?平面AC₁D，DE?平面AC₁D，满足定理条件．

解答：证明：（Ⅰ）在△ABC中，AC=

AB2+BC2-2AB•BCcos∠ABC

=

3

∴AB²+AC²=BC²
∴AB⊥AC
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁
∴A₁A⊥平面ABC，
∴A₁A⊥AB
又∵A₁A∩AC=A
∴AB⊥平面A₁ACC₁，
（Ⅱ）连接A₁C交AC₁于E，连DE，则E为A₁C中点．
∴DE∥A₁B
又∵A₁B?平面AC₁D，DE?平面AC₁D
∴A₁B∥平面AC₁D

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．