Question

已知函数f(x)=

( 1 2 ) x+1，x≤0 - 4x+3   ，0＜x≤1 log 1 2 (x-1)   ，x＞1

（1）画出函数y=f（x）的简图（要求标出关键的点、线）；
（2）结合图象，求当f（x）＞1时，x的取值范围；
（3）观察图象，若关于x的方程f（x）=t有两个解，求实数 t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据指数函数的图象和性质，一次函数的图象和性质及对数函数的图象和性质，进而根据分段函数分段画的原则，可得函数y=f（x）的简图；
（2）令-4x+3=1得x=

1

2

；令log

1

2

(x-1)=1得x=

3

2

，进而根据（1）中图象，可得当f（x）＞1时，x的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=t有两个解，即函数y=f（x）的图象与直线y=t只有两个交点，进而根据（1）中图象，可得实数 t的取值范围．

解答：解：（1）函数f(x)=

( 1 2 )x +1，x≤0 -4x+3，0＜x≤1 log 1 2 (x-1)，x＞1

的图象如下图所示：

（2）因为(

1

2

)x+1＞1恒成立；
令-4x+3=1得x=

1

2

；
令log

1

2

(x-1)=1得x=

3

2

结合图象观察，f（x）＞1时的x的取值范围是：x＜

1

2

或1＜x＜

3

2

（3）观察图象知，方程f（x）=t有两个解等价于
函数y=f（x）的图象与直线y=t只有两个交点．
所以实数 t的取值范围是-1≤t＜2或t≥3

点评：本题考查的知识点是分段函数的图象，熟练掌握指数函数的图象和性质，一次函数的图象和性质及对数函数的图象和性质，是解答的关键．