Question

已知函数f（x）=ax²-2ax+2+b（a＞0），在区间[2，3]上有最大值5，最小值2．
（1）求a，b的值．
（2）若g（x）=f（x）-|m-1|x在[2，3]上单调，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意可得到关于a，b的方程组

9a-6a+2+b=5 4a-4a+2+b=2

，解之即可；
（2）由（1）可得f（x）的解析式，从而可得g（x）的解析式，利用二次函数的单调性即可求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=a（x-1）²+2+b-a的对称轴方程为x=1，又a＞0，所以f（x）在[2，3]上为增函数，

f(3)=2 f(2)=5

，即

9a-6a+2+b=5 4a-4a+2+b=2

，
解得：

a=1 b=0

．
（2）由（1）得f（x）=x²-2x+2，
∴g（x）=x²-2x+2-|m-1|x
=x²-（2+|m-1|）x+2，
∵g（x）=x²-（2+|m-1|）x+2在[2，3]上单调，
∴

2+|m-1|

2

≤2，或

2+|m-1|

2

≥3，
∴|m-1|≤2或|m-1|≥6，
即m≤-5，或-1≤m≤3，或m≥7．

点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查解方程组与不等式组的能力，考查二次函数的单调性与最值及分类讨论思想、方程思想的综合应用，属于中档题．