Question

已知向量

m

=(cosx+sinx，

3

cosx)，

n

=（cosx-sinx，2sinx），若函数f（x）=

m

•

n

．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=1，求角A、B、C的大小．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积运算及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调递增区间，即可得到结论；
（2）根据f（A）=1，可求A=

π

3

，再利用余弦定理及a=1，b+c=2，即可得到结论．

解答：解：（1）∵

m

=(cosx+sinx，

3

cosx)，

n

=（cosx-sinx，2sinx）
∴f（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+

3

cosx•2sinx=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

），（4分）
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，即-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z），
即函数f（x）的单调递增区间是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）；（6分）
（2）因为f（A）=1，所以sin（2x+

π

6

）=

1

2

．
∵

π

6

＜2x+

π

6

＜

13π

6

，
∴2x+

π

6

=

5π

6

，∴A=

π

3

．
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

∵a=1，b+c=2，
∴bc=1
∴b=c=1
∴△ABC为等边三角形，即A=B=C=

π

3

（12分）

点评：本题考查向量的数量积运算，考查三角函数的化简，考查函数的性质，同时考查余弦定理的运用，属于中档题．