Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足（g是常数，且（q＞0，q≠1）．
（I ）求数列{a_n}的通项公式；
（II）当时，试证明；
（III）设函数．f（x）=log_qx，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），使对n∈N^*？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（a_n-1-1），∴，又由S₁=a₁=（a₁-1）得a₁=q，∴数列a_n是首项a₁=q、公比为q的等比数列，∴a_n=q•q^n-1=qⁿ
（II）
（III）b_n=log_qa₁+log_qa₂+…+log_qa_n=log_q（a₁a₂…a_n）=
∴，∴即
∵n=1时，，∴m≤3，∵m是正整数，∴m的值为1，2，3
分析：（I ）由a_n=S_n-S_n-1=（a_n-1-1）知 ，由S₁=a₁=（a₁-1）得a₁=q，由此知a_n=q•q^n-1=qⁿ．
（II）由于，故可证明；
（III）b_n=log_qa₁+log_qa₂+…+log_qa_n=log_q（a₁a₂…a_n）=所以 由此能求出m的值．
点评：本题考查数列和不等式的综合运用，解题时要注意等比数列性质的灵活运用．