Question

已知函数f(x)＝ax－ln(－x)，x∈[－e,0)，其中e是自然对数的底数，a∈R.

(1)当a＝－1时，确定f(x)的单调性和极值；

(2)当a＝－1时，证明：

(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值为3，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解析　(1)∵f(x)＝－x－ln(－x)，f′，

∴当－e≤x<－1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；当－1<x<0时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增．∴f(x)的极小值为f(－1)＝1.

(2)由(1)知f(x)在区间[－e,0)上有唯一的极小值1，即f(x)在区间[－e,0)上的最小值为1，

即f(x)_min＝1.所证不等式即f(x)>－.

.

当－e≤x<0时，h′(x)≤0，故h(x)在[－e,0)上单调递减．

∴h(x)_max＝h(－e)＝＋<＋＝1＝f(x)_min.

∴当a＝－1时，f(x)＋>.

(3)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln(－x)的最小值为3.f′(x)＝a－(x∈[－e,0))．

①若a≥－，由于x∈[－e,0)，则f′(x)＝a－≥0.

∴函数f(x)＝ax－ln(－x)在[－e,0)上是增函数．

∴f(x)_min＝f(－e)＝－ae－1＝3，解得a＝－<－，与

a≥－矛盾，舍去．

②若a<－，则当－e≤x<时，f′(x)＝a－<0，此时f(x)＝ax－ln(－x)是减函数．

当<x<0时，f′(x)＝a－>0，此时f(x)＝ax－ln(－x)是增函数．∴f(x)_min＝f()＝1－ln(－)＝3，解得a＝－e².

由①②知，存在实数a＝－e²，使f(x)的最小值为3.