题目内容
已知函数f（x）=
．
（1）当a=1时，求函数f（x）的值域；
（2）当a＞0时，判断函数f（x）的单调性，并证明．
| a | x |
（1）当a=1时，求函数f（x）的值域；
（2）当a＞0时，判断函数f（x）的单调性，并证明．
分析：（1）由函数f（x）的定义域可得值域；
（2）根据函数的单调性定义判断是减函数并用单调性定义证明．
（2）根据函数的单调性定义判断是减函数并用单调性定义证明．
解答：解：（1）当a=1时，f（x）=
，∵x≠0，∴
≠0，∴f（x）的值域（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）当a＞0时，f（x）=
，其中x≠0，f（x）在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）的每一个区间上都是减函数，
证明如下：任取x1，x2∈（-∞，0），且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=
-
=
；
∵a＞0，0＜x1＜x2，∴x2-x1＞0，x1x2＞0，∴
＞0；
∴f（x1）＞f（x2），即f（x）在（0，+∞）上是减函数；
同理可证f（x）在（-∞，0）上也是减函数．
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
（2）当a＞0时，f（x）=
| a |
| x |
证明如下：任取x1，x2∈（-∞，0），且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=
| a |
| x1 |
| a |
| x2 |
| a(x2-x1) |
| x1x2 |
∵a＞0，0＜x1＜x2，∴x2-x1＞0，x1x2＞0，∴
| a(x2-x1) |
| x1x2 |
∴f（x1）＞f（x2），即f（x）在（0，+∞）上是减函数；
同理可证f（x）在（-∞，0）上也是减函数．
点评：本题考查了函数值域的求法，单调性的判定与证明等知识，是基础题．
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