Question

设的定义域为,的导函数为,且对任意正数均有，

(1)判断函数在上的单调性；

(2)设，比较与的大小，并证明你的结论；

(3)设，若，比较与的大小，并证明你的结论．

Answer 1

(Ⅰ) 在上是增函数.

(Ⅱ) .

（Ⅲ）

解析:

(Ⅰ)由于得，，而，则，

则，因此在上是增函数.

(Ⅱ)由于，，则，而在上是增函数，

则，即，∴（1），

同理 （2）

（1）+（2）得：，而，

因此 .

（Ⅲ）证法1: 由于，，则，而在上是增函数，则，即，

∴

同理

以上个不等式相加得：

而

证法2：数学归纳法

（1）当时，由（Ⅱ）知，不等式成立；

（2）当时，不等式成立，

即成立，

则当时， +

再由(Ⅱ)的结论, +

+

因此不等式对任意的自然数均成立.