Question

设函数α，β∈[-

π

2

，

π

2

]，且αsinα-βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是（　　）

A．α＞β

B．α＜β

C．α+β＞0

D．α2＞β2

Answer 1

令f（x）=xsinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∵f（-x）=-x•sin（-x）=x•sinx=f（x），
∴f（x）=xsinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]为偶函数．
又f′（x）=sinx+xcosx，
∴当x∈[0，

π

2

]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0，

π

2

]单调递增；
同理可证偶函数f（x）=xsinx在x∈[-

π

2

，0]单调递减；
∴当0≤|β|＜|α|≤

π

2

时，f（α）＞f（β），即αsinα-βsinβ＞0，反之也成立；
故选D．