Question

已知函数，（其中为常数）．
（1）如果函数和有相同的极值点，求的值；
（2）设，问是否存在，使得，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）记函数，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）或；（2）；（3）.

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求函数的极值和最值、利用导数判断函数的单调性、求函数的零点等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，对求导，得到有2个根，而在处有极大值，所以那2个根分别等于，得到a的值；第二问，假设存在使得，将代入得到解析式，由于，所以将问题转化成了存在，使得，分类讨论，讨论抛物线的对称轴和区间端点的大小，数形结合，得到结论；第三问，已知条件中有5个不同的零点，根据解析式的特点，知有3个不同的实根，有2个不同的实根，通过抛物线的图形可知要使有2个不同的实根，只需，而，通过第一问得到的极值点，讨论2个数的3种大小关系，结合图象，确定a的取值范围，a的取值范围需保证和同时成立，还得保证这5个根互不相等.
试题解析：（1），则，
令，得或，而在处有极大值，  
∴或；综上：或．  3分
（2）假设存在，即存在，使得
，
当时，又，故，则存在，使得
，            4分
 当即时，得，； 
5分
 当即时，得，  6分
无解；综上：．                7分
(3)据题意有有3个不同的实根，有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．\（ⅰ）有2个不同的实根，只需满足；    8分
（ⅱ）有3个不同的实根，
当即时，在处取得极大值，而，不符合题意，舍；    9分
当即时，不符合题意，舍；
当即时，在处取得极大值，；所以；  10分
因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故；（注：也对）   11分
下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在使得和同时成立.
若存在使得，
由，即，得，
当时，，不符合，舍去；
当时，既有   ①；
又由，即  ②；   联立①②式，可得；
而当时，没有5个不
同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．
综上，当时，函数有5个不同的零点．     14分