Question

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，前n项和为S_n．
（1）求证：点P₁（1，S₁），P₂（2，

1

2

S2），P₃（3，

1

3

S3），…，P_n（n，

1

n

Sn）在同一条直线l₁上．
（2）过点Q₁（1，a₁），Q₂（2，a₂）作直线l₂，设l₁与l₂的夹角为θ，求证tanθ≤

2

4

．

Answer 1

分析：（1）可得Sn=

d

2

n2+(1-

d

2

)n，变形可得

Sn

n

=

d

2

n+(1-

d

2

)，设直线l₁为：y=

d

2

x+(1-

d

2

)．易知点的坐标适合方程；（2）由（1）可知kl1=

d

2

，kl2=

a2-a1

2-1

=d，由夹角公式和基本不等式可得．

解答：解：（1）由等差数列的求和公式可得：Sn=

d

2

n2+(1-

d

2

)n，
变形可得

Sn

n

=

d

2

n+(1-

d

2

)，
设直线l₁为：y=

d

2

x+(1-

d

2

)．
易知点P₁（1，S₁），P₂（2，

1

2

S2），P₃（3，

1

3

S3），…，P_n（n，

1

n

Sn）
的坐标适合上面的方程，即在同一条直线l₁上．
（2）由（1）可知kl1=

d

2

，由题意可知kl2=

a2-a1

2-1

=d，
∴tanθ=|

kl2-kl1

1+kl2•kl1

|=|

d- d 2

1+d• d 2

|=|

d

2+d2

|
=

1

2 |d| +|d|

≤

1

2 2 |d| •|d|

=

2

4

，
当且仅当

2

|d|

=|d|，即d=±

2

时，上式取“=”

点评：本题考查等差数列的性质，涉及两直线的夹角问题和基本不等式的应用，属中档题．