Question

已知函数f(x)=xm+

2

x

且f(4)=

9

2

．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）判定f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）判断f（x）在[

2

，+∞)上的单调性，并给予证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据条件且f(4)=

9

2

，建立方程，解m的即可；
（Ⅱ）利用函数奇偶性的定义进行判定f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）利用函数单调性的定义进行证明函数的单调性即可．

解答：解：（I）∵f(4)=

9

2

，∴f(4)=4m+

2

4

=

9

2

，
∴4^m=4，
∴m=1．
（II）由（1）得f(x)=x+

2

x

，
∵f（x）的定义域为{x|x≠0}，
又f(-x)=-x+

2

-x

=-(x+

2

x

)=-f(x)，
∴f（x）是奇函数．
（III）f（x）在[

2

，+∞)上的为单调递增函数．
证明：设

2

≤x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=x1+

2

x1

-(x2+

2

x2

)=(x1-x2)(1-

2

x1x2

)，
∵

2

≤x1＜x2，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞2，
∴0＜

2

x1x2

＜1，
∴1-

2

x1x2

＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[

2

，+∞)上的为单调递增函数．

点评：本题主要考查函数单调性和奇偶性的应用，要求熟练掌握函数单调性和奇偶性的性质和定义．