Question

如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF∥BC且EF=

3

，BC=2

3

，CD=2，二面角E-CD-B等于60°．
（1）证明：面EOF⊥平面CDF；
（2）求B到面CDF的距离；
（3）求BF与面CDF所成的角．

Answer 1

分析：法一：（1）设CD的中点为G，连接OG、EG，要证明面EOF⊥平面CDF，只需证明面EOF内的直线EO垂直平面CDF即可．
（2）EO⊥面CDF，所以B到面CDF的距离为O到面CDF的距离的两倍，求解即可．
（3）过F作面ABCD的垂线，垂足为H，由B到面CDF的距离，解三角形求BF与面CDF所成的角．
法二：建立空间直角坐标系，利用向量的数量积证明垂直，证明（1）；
平面的法向量求出点到平面的距离，解答（2）；
向量的数量积求出直线与平面所成的角，解答（3）．

解答：解：法一：（1）证明：设CD的中点为G，连接OG、EG
显然EF∥OG且EF=OG
∴四边形FOGE是平行四边形
∴FO∥EG，EF=OG=

1

2

BC=

3

2

CD
而△ECD是正三角形，
∴EG=

3

2

CD
∴平行四边形FOGE是菱形，EO⊥FG
又CD⊥OG，CD⊥EG，
∴CD⊥平面OGE，
而EO?平面OEG
，∴CD⊥EO
而FG与CD相交，故EO⊥平面CDF
∴面EOF⊥CDF
（2）EO⊥面CDF，
所以O到面CDF的距离为

1

2

OE=

3

2

又O为BD中点，
所以B到面CDF的距离为O到面CDF的距离的两倍
∴B到面CDF的距离为

3

（3）过F作面ABCD的垂线，垂足为H，
则HG=

3 3

2

，FH=

3

2

，BF2=BH2+FH2=1+(

3

2

)2+(

3

2

)2=4
由（2）B到面CDF的距离为

3

如果BF与面CDF所成的角θ，则sinθ=

3

BF

=

3

2

∴BF与面CDF所成的角为

π

3

法二：（1）建立如图空间直角坐标系，
则C(1，

3

，0)，D(-1，

3

，0)，E(0，

3

2

，

3

2

)，F(0，-

3

2

，

3

2

)
∵

OE • CF =0 OE • DF =0

∴OE⊥面CDF，
∴面EOF⊥面CDF
（2）∵B(1，-

3

，0)，

BF

=(-1，

3

2

，

3

2

)∴d=

BF • OE

| OE |

=

3

3

=

3

（3）cos＜

BF

，

OE

＞=

BF • OE

| BF |•| OE |

=

3

2

∴BF与面CDF所成的角为

π

3

点评：本题考查直线与平面所成的角，平面与平面的垂直，点到平面的距离，既考查证明题又考查计算题，考查逻辑思维能力空间想象能力，是高考常考点，是中档题．