Question

已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为；为椭圆上的四个点。

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若，且，求四边形的面积的最大值和最小值。.

Answer 1

解：（Ⅰ）由题圆的一个焦点为知

故可设椭圆方程为

   过焦点且与长轴垂直的直线方程为，设此直线与椭圆交于两点

则，又，所以，又，

联立求得，故椭圆方程为

（Ⅱ）由，知，点共线，点共线，

即直线经过椭圆焦点。又知，

（i）当斜率为零或不存在时，

（ii）当直线存在且不为零时，可设斜率为，则由知，的斜率为

     所以：直线方程为：。直线方程为:

 将直线方程代入椭圆方程，消去并化简整理可得

  ，

 设坐标为，则，…………①

从而，将①代入化简得

，

将中换成可得

所以

令

 因为，所以，故

所以，当且仅当即时，

综上（i）(ii)可知，即四边形的最大面积为，最小面积为。